Arguments et opérations - Corrigé

Énoncé

Déterminer un argument des nombres complexes suivants.

1. \(z_1=\dfrac{1-i}{1+i}\)

2. \(z_2=(2+2i)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)\)

3.  \(z_3=\dfrac{3i}{1-i\sqrt{3}}\)

4. \(z_4=(2+2 \sqrt{3}i)^{2024}\)

Solution

1. On a : \(\begin{align*}\arg(z_1)& \equiv \arg\left(\frac{1-i}{1+i}\right)\equiv \arg(1-i)-\arg(1+i) \ [2\pi].\end{align*}\)

•  D'une part : \(\left\vert 1-i \right\vert= \sqrt{1^2+(-1)^2}= \sqrt{1+1}= \sqrt{2}\) .
  Soit \(\theta_1\) un argument de \(1-i\) . On a alors :
  \(\left\lbrace \begin{array}{l}\cos\theta_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\cos \dfrac{-\pi}{4}\\\sin\theta_1=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=\sin \dfrac{-\pi}{4}\end{array} \right.\)
  donc \(\theta_1 \equiv \dfrac{-\pi}{4} \ [2\pi]\) .
•  D'autre part :  \(\left\vert 1+i \right\vert= \sqrt{1^2+1^2}= \sqrt{1+1}= \sqrt{2}\) .
  Soit \(\theta_2\) un argument de \(1+i\) . On a alors :
  \(\left\lbrace \begin{array}{l}\cos\theta_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\cos \dfrac{\pi}{4}\\\sin\theta_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sin \dfrac{\pi}{4}\end{array} \right.\)
  donc \(\theta_2 \equiv \dfrac{\pi}{4} \ [2\pi]\) .

On en déduit que : \(\begin{align*}\arg(z_1)& \equiv \theta_1-\theta_2\equiv -\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\equiv -\frac{\pi}{2} \ [2\pi].\end{align*}\)

2.  On a 
\(\begin{align*}\arg(z_2)& \equiv \arg\left((2+2i)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)\right)\equiv \arg(2+2i)+\arg\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right) \ [2\pi].\end{align*}\)

•  D'une part : \(\left\vert 2+2i \right\vert= \sqrt{2^2+2^2}= \sqrt{4+4}= 2\sqrt{2}\) .
  Soit   \(\theta_1\)  un argument de \(2+2i\) . On a alors :
  \(\left\lbrace \begin{array}{l}\cos\theta_1=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\cos \dfrac{\pi}{4}\\\sin\theta_1=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\sin \dfrac{\pi}{4}\end{array} \right.\)
  donc \(\theta_1 \equiv \dfrac{\pi}{4} \ [2\pi]\) .
•  D'autre part : \(\left\vert \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i \right\vert= \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2}= \sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}= \sqrt{\dfrac{4}{4}}= \sqrt{1}= 1\) .
  Soit \(\theta_2\) un argument de \(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\) . On a alors :
  \(\left\lbrace \begin{array}{l}\cos\theta_2=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos \dfrac{-\pi}{6}\\\sin\theta_2=\dfrac{\frac{-1}{2}}{2}=\dfrac{-1}{2}=\sin \dfrac{-\pi}{6}\end{array} \right.\)
  donc \(\theta_2 \equiv \dfrac{-\pi}{6} \ [2\pi]\) .

On en déduit que :
\(\begin{align*}\arg(z_2)& \equiv \theta_1+\theta_2\equiv \frac{\pi}{4}+\frac{-\pi}{6}\equiv \frac{3\pi}{12}-\frac{2\pi}{12}\equiv \frac{\pi}{12} \ [2\pi].\end{align*}\)

3. On a : 
\(\begin{align*}\arg(z_3)& \equiv \arg\left( \frac{3i}{1-i\sqrt{3}} \right)\equiv \arg(3i) - \arg(1-i\sqrt{3}) \ [2\pi].\end{align*}\)

• D'une part : \(\left\vert 3i \right\vert= \sqrt{0^2+3^2}= \sqrt{9}= 3\) .
  Soit   \(\theta_1\) un argument de \(3i\) . On a alors :
  \(\left\lbrace \begin{array}{l}\cos\theta_1=\dfrac{0}{3}=0=\cos \dfrac{\pi}{2}\\\sin\theta_1=\dfrac{3}{3}=1=\sin \dfrac{\pi}{2}\end{array} \right.\)
  donc \(\theta_1 \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]\) .
•  D'autre part : \(\left\vert 1-i\sqrt{3} \right\vert= \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}= \sqrt{1+3}= \sqrt{4}= 2\) .
  Soit \(\theta_2\)  un argument de \(1-i\sqrt{3}\) . On a alors :
  \(\left\lbrace \begin{array}{l}\cos\theta_2=\dfrac{1}{2}=\cos \dfrac{-\pi}{3}\\\sin\theta_2=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}=\sin \dfrac{-\pi}{3}\end{array} \right.\)
  donc \(\theta_2 \equiv \dfrac{-\pi}{3} \ [2\pi]\) .

On en déduit que :
\(\begin{align*}\arg(z_3)& \equiv \theta_1-\theta_2\equiv \frac{\pi}{2}-\frac{-\pi}{3}\equiv \frac{3\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}\equiv \frac{5\pi}{6} \ [2\pi].\end{align*}\)

4. On a : \(\begin{align*}\arg(z_4)& \equiv \arg\left((2+2\sqrt{3}i)^{2024}\right)\equiv 2\,024\arg(2+2\sqrt{3}) \ [2\pi].\end{align*}\)

On a  : \(\left\vert 2+2\sqrt{3} \right\vert= \sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}= \sqrt{4+12}= \sqrt{16} = 4\) .

Soit  \(\theta\) un argument de \(2+2\sqrt{3}\) . On a alors :
\(\left\lbrace \begin{array}{l}\cos\theta=\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}=\cos \dfrac{\pi}{3}\\\sin\theta=\dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin \dfrac{\pi}{3}\end{array} \right.\)
donc \(\theta \equiv \dfrac{\pi}{3} \ [2\pi]\) .

On en déduit que : 
\(\begin{align*}\arg(z_4)& \equiv 2\,024\theta\equiv 2\,024 \times \left(\frac{\pi}{3}\right)\equiv \frac{(337 \times 6 +2 \pi)}{3}\equiv \frac{2 \pi}{3} \ [2\pi].\end{align*}\)